已知集合A={x|mx2-2x+3=0,m∈R}. (1)若A是空集,求m的取值范围; (2)若A中只有一个元素,求m的值; (3)若A中含有两个元素,求m的取值范围.
题目
已知集合A={x|mx2-2x+3=0,m∈R}.
(1)若A是空集,求m的取值范围;
(2)若A中只有一个元素,求m的值;
(3)若A中含有两个元素,求m的取值范围.
答案
解析:集合A是方程mx
2-2x+3=0在实数范围内的解集.
(1)∵A是空集,
∴方程mx
2-2x+3=0无解,显然m≠0,
∴mx
2-2x+3=0为一元二次方程.
∴△=4-12m<0,即m>
;
(2)∵A中只有一个元素,
∴方程mx
2-2x+3=0只有一解.
若m=0,方程为-2x+3=0,只有一个解x=
;
若m≠0,则△=0,即4-12m=0,m=
.
∴m=0或m=
;
(3)∵A中含有两个元素,
∴方程mx
2-2x+3=0有两解,
∴满足
,即
,
∴m<
且m≠0.
(1)依题意,m≠0,mx
2-2x+3=0为一元二次方程,利用△=4-12m<0可求得m的取值范围;
(2)对m=0与m≠0分类讨论,可求得m的值;
(3)A中含有两个元素⇔方程mx
2-2x+3=0有两解⇔
,从而可求得m的取值范围.
集合中元素个数的最值;空集的定义、性质及运算.
本题考查集合中元素个数,考查分类讨论思想与方程思想,考查运算能力,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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