在△ABC中,已知A>B>C,且A=2C,A.B.C.所对的边分别为a.b..c,2b=a+c,b=4,求a,c

题目

在△ABC中,已知A>B>C,且A=2C,A.B.C.所对的边分别为a.b..c,2b=a+c,b=4,求a,c

答案

由正弦定理得a/sinA = c/sinC
又A=2C
∴a/sin2C =c/sinC
∴cosC= a/2c.
又2b=a+c=8
∴cosC=(a²+4²-c²)/8a
=[(a+c)(a-c)+16]/8a
=(a -c +2)/a
=(4a -4c +8)/4a
=(4a -3c +8-c)/4a
=(5a-3c)/4a
= a/2c
从而4a²=2c（5a -3c）=2（5ac-3c²）
2 a²-5ac+3c²=0
(2a-3c)(a-c)=0
∵内角A>B>C
∴a≠c即a-c≠0
∴2a=3c
与a+c=8联立解得
a=24/5 c=16/5 .