一个正六面体和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形,两个多面体的内切球半径之比为最简分数 m/n,则积m *n为多少?

题目

一个正六面体和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形,两个多面体的内切球半径之比为最简分数 m/n,则积m *n为多少?

答案

先把正六面体和正八面体截成两半,得到边长都为a的一个正三角截面和正方形截面,两个多面体内切球的球心显然是在两个截面的中心,分别设为A,B,且A,B点到各个侧面的距离（也就是球半径）都相等,由此可以转化为求体积的问题.设正三角形面积为S
由A点向其余四个顶点引直线,可以看到半个正六面体被分割为等体积的3份,V1=m*S*1/3*3=S*h1*1/3
对半个八面体也这样做
V2=n*S*1/3*4=a*a*h2*1/3
h1和h2是顶点到截面的距离,这个你应该会求吧.
我算完m=a倍根6/9,n=a倍根6/6.
剩下的自己算一下好了.