已知BD,CE分别是△ABC的AC,AB边上的高,点P在BD的延长线上,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB.求证:(1)AP=AQ(2)AP⊥AQ

题目

已知BD,CE分别是△ABC的AC,AB边上的高,点P在BD的延长线上,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB.求证:(1)AP=AQ(2)AP⊥AQ

答案

证明：
∵CE⊥AB,BD⊥AC【此步骤只为证明∠ABD=∠ACE,设CE交BD于O】
∴∠ABD=90º-∠EOB,∠ACE=90º-∠DOC.
∵∠EOB=∠DOC
∴∠ABD=∠ACE【用四点共圆会更简单】
又∵在⊿AQC和⊿PAB中,QC=AB,AC=PB
∴⊿AQC≌⊿PAB（SAS）【此题最关键的地方,请仔细观察思考】
∴AQ=AP【1证毕】,∠Q=∠PAB
∵∠Q+∠QAB=90º
∴∠PAB+∠QAB=90º即∠QAP=90º
∴AP⊥AQ【2证毕】