已知边长为4根号3的正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y²=2px上,（p>0),球抛物线的方程

题目

已知边长为4根号3的正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y²=2px上,（p>0),球抛物线的方程

答案

题目中的“球”应该是“求”.
设正三角形为OAB.
∵抛物线y^2＝2px是以x轴为对称轴的,
∴A、B一定是以x轴为对称轴的对称点,否则OA、OB不等.
∵｜AB｜＝4√3,∴可设A的坐标为（m,2√3）,B的坐标为（m,－2√3）.
令AB与x轴的交点为D,则D的坐标是（m,0）.
显然,OD是△OAB的高,∴m＝√3｜AD｜＝6.
∴A的坐标是（6,2√3）.
∵A在抛物线上,∴（2√3）^2＝2p×6,∴p＝1.
∴所要求的抛物线方程是：y^2＝2x.