已知道直线l:y=k(x-3).圆M：(x-4)^2+(y-1)^2=8

题目

已知道直线l:y=k(x-3).圆M：(x-4)^2+(y-1)^2=8
当圆M截l所得弦最短时,求k的值.

答案

直线过定点（3,0） 带入圆：(3-4)^2+(0-1)^2=2《8 所以定点在圆内 所以当圆M截l所得弦最短时 直线与 定点和圆心（4,1）连线垂直 定点和圆心（4,1）连线斜率为（0-1）/（3-4）=1 所以k*1=-1（因为垂直） 所以k=-1
为什么垂直时最短 证明：连接圆心和 截线与m的交点 得等腰三角形过圆心做垂线 则（弦长/2）^2+垂线^2=半径^2 所以垂线越长弦越短 垂线最短时为定点和圆心（4,1）连线 所以 垂直时最短