求函数f(x)=xe-x的单调区间、凹凸区间、极值及拐点.
题目
求函数f(x)=xe-x的单调区间、凹凸区间、极值及拐点.
答案
先求一阶导和二阶导,f′(x)=e
-x(1-x),f″(x)=e
-x(x-2),
f′(x)=0⇒x=1,f″(x)=0⇒x=2.
列表:
x | (一∞,1) | 1 | (1,2) | 2 | (2,+∞) |
y′ | + | 极大值 | - | | - |
y″ | - | | - | 拐点 | + |
y | | 2/e2 | | 2/e2 | |
所以,单增区间为(-∞,1),单减区间为(1,+∞),
x=1时,取极大值f(1)=e
-1,
凹区间为(-∞,2),
凸区间为(2,+∞),
拐点为(2,2/e
2).
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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