如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,D为斜边BC中点,DE⊥DF,求证:EF2=BE2+CF2.
题目
如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,D为斜边BC中点,DE⊥DF,求证:EF
2=BE
2+CF
2.
答案
证明:延长ED到G,使DG=DE,连接EF、FG、CG,如图所示:
在△EDF和△GDF中
,
∴△EDF≌△GDF(SAS),
∴EF=FG
又∵D为斜边BC中点
∴BD=DC
在△BDE和△CDG中
,
∴△BDE≌△CDG(SAS)
∴BE=CG,∠B=∠BCG
∴AB∥CG
∴∠GCA=180°-∠A=180°-90°=90°
在Rt△FCG中,由勾股定理得:
FG
2=CF
2+CG
2=CF
2+BE
2∴EF
2=FG
2=BE
2+CF
2.
延长ED到G,使DG=DE,连接EF、FG、CG,由于DF=DF,∠EDF=∠FDG=90°,DG=DE,可得出△EDF≌△GDF,所以EF=FG,同理证出BE=CG,所以要证明EF2=BE2+CF2,只需证明FG2=FC2+CG2即可.
勾股定理;全等三角形的判定与性质.
本题考查勾股定理的应用,关键在于找出相应的直角三角形,两直角边的平方和等于斜边的平方,证明过程中运用到全等三角形的判定和等价替换的方法.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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