判断反常积分的收敛性 ∫（0,1）x^-1/2 和 ∫（1,+∞）x^-1/2

题目

判断反常积分的收敛性 ∫（0,1）x^-1/2 和 ∫（1,+∞）x^-1/2

答案

∫（0,1）x^-1/2 dx
=lim(a->0+)∫（a,1）x^-1/2 dx
=lim(a->0+)∫（a,1）dx^1/2
=lim(a->0+)x^1/2|(a,1)
=lim(a->0+)1^1/2-a^1/2
=1(反常积分收敛)
∫（1,+∞）x^-1/2
=lim(a->+∞)∫（1,a）x^-1/2 dx
=lim(a->+∞)∫（1,a）dx^-1/2
=lim(a->+∞)x^-1/2|（1,a）
=lim(a->+∞)a^-1/2-1^-1/2
=+∞(反常积分发散)