一个质点做直线运动,初速度为v0,所受阻力与其速度成正比,试求当质点速度为v0/n时,其运动距离与质点行走所能经过最大距离的比值是多少?

题目

一个质点做直线运动,初速度为v0,所受阻力与其速度成正比,试求当质点速度为v0/n时,其运动距离与质点行走所能经过最大距离的比值是多少?

答案

f=kv
dv/dt=-kv/m
-dv/(kv/m)=dt
左边对v从v0到v积分,右边对t从0到t积分,可以得出：
mln(v/v0)/k=-t
即v=v0e^(-kt/m)
当v=v0/n时,即e^(-kt/m)=1/n,得t=mln(n)/k
然后对v从0到t=mln(n)/k积分得出经过的距离,对v从0到正无穷积分得出最大距离,即可求出比值.