已知Rt三角形ABC的直角顶点A在直线ρcos θ=9上移动,c为原点,角ACB=30°,求顶点B的轨迹的极坐标方程

题目

已知Rt三角形ABC的直角顶点A在直线ρcos θ=9上移动,c为原点,角ACB=30°,求顶点B的轨迹的极坐标方程

答案

A点的直角坐标为(9,ρsinθ).
下面分两种情况讨论
若ABC为顺时针方向,则B点的直角坐标为(2ρ/√3*cos(θ-π/6),2ρ/√3*sin(θ-π/6)),而角A为直角,所以可建立等式AB*AC=0即9(2ρ/√3*cos(θ-π/6)-9)+ρsinθ(2ρ/√3*sin(θ-π/6)-ρsinθ)=0,化简得ρ^2sinθcosθ-ρ(9√3cosθ+9sinθ)+81√3=0
即(ρsinθ-9√3)(ρcosθ-9)=0,其中ρcosθ=9为A的轨迹,所以B的轨迹为ρsinθ=9√3
若ABC为逆时针方向,则B点的直角坐标为(2ρ/√3*cos(θ+π/6),2ρ/√3*sin(θ+π/6)),而角A为直角,所以可建立等式AB*AC=0即9(2ρ/√3*cos(θ+π/6)-9)+ρsinθ(2ρ/√3*sin(θ+π/6)-ρsinθ)=0,化简得ρ^2sinθcosθ+ρ(9√3cosθ-9sinθ)-81√3=0
即(ρsinθ+9√3)(ρcosθ-9)=0,其中ρcosθ=9为A的轨迹,所以B的轨迹为ρsinθ=-9√3