设x、y属于R+,不等式√x+√y≤a√(x+y)恒成立,求a的最小值

题目

设x、y属于R+,不等式√x+√y≤a√(x+y)恒成立,求a的最小值

答案

由柯西不等式,√x+√y=1*√x+1*√y≤√(1^2+1^2)*√(x+y)=√2*√(x+y)仅当x=y时等号成立.证明如下,不等式√x+√y≤a√(x+y)两边平方整理可得(a^2-1)(x+y)≥2√(xy)因为x、y属于R+,由均值不等式x+y≥2√(xy)所以必有a...