在边长为1的正方形ABCD的边AB上取一点P，边BC上取一点Q，边CD上取一点M，边AD上取一点N，如果AP+AN+CQ+CM=2，求证：PM⊥QN．

题目

在边长为1的正方形ABCD的边AB上取一点P，边BC上取一点Q，边CD上取一点M，边AD上取一点N，如果AP+AN+CQ+CM=2，求证：PM⊥QN．

答案

证明：如图所示，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转90°，
则正方形ABCD变到正方形ADC₁D₁的位置，
其中A不变，B变到D，Q变到Q₁，C变到C₁，N变到N₁，直线QN变到Q₁N₁．
因此QN⊥Q₁N₁，
因为AN=AN₁，CQ=C₁Q₁，
所以PN₁=AP+AN₁=AP+AN=2-（CM+CQ）=CC₁-（CM+C₁Q₁）=MQ₁．
又PN₁∥MQ₁，
所以四边形PMQ₁N₁是平行四边形．
故PM∥Q₁N₁．
因此PM⊥QN．