已知θ∈(0,π/2),求f(x)=1/sin^2θ+2/cos^2θ的最小值

题目

已知θ∈(0,π/2),求f(x)=1/sin^2θ+2/cos^2θ的最小值

答案

f(x)=1/sin²θ+2/cos²θ
=(sin²θ+cos²θ)/sin²θ +2(sin²θ+cos²θ)/cos²θ
=1+cot²θ+2+2tan²θ
≥3+2√【(cot²θ)*2tan²θ】
=3+2√2
当且仅当(cot²θ)=2tan²θ,tanθ=(1/2)^(1/4),即θ=arctan2^(-1/4)时,取等号.
故最小值为3+2√2.