A是n阶矩阵，且A≠0．证明：存在一个n阶非零矩阵B，使AB=0的充分必要条件是|A|=0．

题目

A是n阶矩阵，且A≠0．证明：存在一个n阶非零矩阵B，使AB=0的充分必要条件是|A|=0．

答案

证明：
“必要性”（⇒）
（反证法）
反设|A|≠0，则：A^-1存在．
所以当AB=0时，二边右乘A^-1得：B=0，与存在一个n阶非零矩阵B，使AB=0矛盾．
所以|A|=0．
“充分性”（⇐）
设|A|=0，则方程组Ax=0有非零x=（b₁，b₂，…b_n）．
构造矩阵：B＝

b1 0 … 0 b2 0 … 0 … … … … bn 0 … 0

则B≠0，且AB=0．
证毕．

考查矩阵的乘法，以及线性方程组的非零解的问题，以及在问题的证明过程中，正面证明没有思路时，使用反证法来证明的技巧．

本题考点：齐次线性方程组有非零解的充分必要条件．

考点点评：问题的证明比较取巧，反证法，以及构造矩阵的时候，先证明矩阵的存在等关键步骤要多学习．