证明;多项式次数比求导阶数低的那些项的相应高阶导数都为0?

题目

证明;多项式次数比求导阶数低的那些项的相应高阶导数都为0?

答案

只需证明:当n大于k时,x^k的n阶导数为0.当k为0时,常数的导数为0,当k为1时,x的二阶导数为0.设结论对x^(k-1)成立.由于x^k的导数=kx^(k-1),由归纳假设,x^(k-1)的n-1阶导数为0,故x^k的n阶导数为0