有一个圆 圆心在原点 半径1 .A点坐标（0,1） 三角形ABC 内接于圆 M 为B C 中点,点B点C 在圆上运动,求 点M 的轨迹?

题目

有一个圆 圆心在原点 半径1 .A点坐标（0,1） 三角形ABC 内接于圆 M 为B C 中点,点B点C 在圆上运动,求 点M 的轨迹?
刚才忘了个条件 角 BAC 保持为60度哦

答案

由于有特殊角,设参数方程做比较简单
可以得知B,C的圆心角相差120度,不妨设
B(cosa,sina) C(cos(a+120),sin(a+120))
因此中点坐标可以表示成(cosa+cos(a+120))/2,(sina+sin(a+120))/2
经过化简后,中点坐标为(cosa-根3sina)/4,(sina+根3cosa)/4
我们可以看到把x,y平方后相加,cos和sin正好都消掉了,结果为1/4
因此中点的轨迹方程为x^2+y^2=1/4
注意还要删去两个点,因为B,C不能和A重合,因此a角不能取90,-30
最终的结果是
x^2+y^2=1/4 除(-根3/4,1/4)和(根3/4,1/4)