若a,b,c为△ABC的三边,且关于x的方程:4x2+4(a2+b2+c2)x+3(a2b2+b2c2+c2a2)=0有两个相等的实数根,试证△ABC是等边三角形.
题目
若a,b,c为△ABC的三边,且关于x的方程:4x2+4(a2+b2+c2)x+3(a2b2+b2c2+c2a2)=0有两个相等的实数根,试证△ABC是等边三角形.
答案
证明:由题得,△=16(a2+b2+c2)2-4×4×3(a2b2+b2c2+c2a2)=0,
所以有,a4+b4+c4-a2b2-a2c2-b2c2=0,2(a4+b4+c4-a2b2-a2c2-b2c2)=0,
得到(a2-b2)2+(b2-c2)2+(c2-a2)2=0,
所以a2-b2=0且b2-c2=0且c2-a2=0,即有a=b=c.
所以△ABC是等边三角形.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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