已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c ,曲线y=f(x) 在点x=1处的切线 为l：3x-y+1=0,若x=2/3 时,y=f(x) 有极值．

题目

已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c ,曲线y=f(x) 在点x=1处的切线 为l：3x-y+1=0,若x=2/3 时,y=f(x) 有极值．
(I) 求a、b、c的值；
(II) 求 在[-3,1]上的最大值和最小值．

答案

(I)由f(x)=x^3+ax^2+bx+c ,得
f'(x)=3x^2+2ax+b
当x=1时,切线l的斜率为3,可得2a+b=0． ①
当x=2/3 时,y=f(x) 有极值,则f'(2/3)=0 可得4a+3b+4=0．②
由①、②解得 a=2,b=-4
由于切点的横坐标为x=1,∴ f(1)=4．
∴1+a+b+c=4．
∴c=5．
(II)由(I)可得f(x)=x^3+2x^2-4x+5 ,
∴f'(x)=3x^2+4x-4
令f'(x)=0 ,得x=－2,x=2/3 ．
x [-3,-2) -2 (-2,2/3 ) 2/3 (2/3,1]
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 极大值 极小值
∴f(x)在x=－2处取得极大值f(-2)=13．
在x=2/3 处取得极小值f(2/3) =95/27 ．
又f(-3)=8,f(1)=4
∴f(x)在[-3,1]上的最大值为13,最小值为95/27