证明正交变换是一一变换

题目

证明正交变换是一一变换
证明在欧几里得空间中正交变换是一一变换,且正交变换的积仍是正交变换

答案

设T是一个正交变换,x1,x2,...,xn是欧式空间的一组正交基,那么只要证明Tx1,Tx2,...,Txn也是一组正交基（这个可以直接用定义验证,==0,i≠j）,于是T是欧式空间到自身的满射,自然也是单射,所以是一一映射；
既然Tx1,Tx2,...,Txn也是一组正交基,那么对任意的正交变换S,STx1=S(Tx1),STx2=S(Tx2),..,STxn=S(Txn)自然也是一组正交基,所以正交变换的乘积依然是正交变换.