已知二次函数 y=x²-(m²+8)x+2(m²+6).

题目

已知二次函数 y=x²-(m²+8)x+2(m²+6).
（1）求证：不论m取任何实数,此函数图像都与x轴有两个交点,且两个交点都在x轴的正半轴上.
（2）设这个函数的图像与x轴交于B,C两点,与y轴交于A点,若三角形ABC的面积为48,求m的值.
（3）设抛物线的顶点为P,是否存在实数m,使三角形PBC为等腰直角三角形?如果存在,请求出m的值；如果不存在,请说明理由.

答案

令f（x）=x²-（m²+8）x+2（m²+6）=（x-2）[x-（m²+6）]
（1）证明：
△=（m²+8)²-8(m²+6)=m^4+8m²+16=(m²+4)²>16恒成立
所以,函数跟x轴恒有两个交点!
有因为
f（0）=2(m²+8)>0
(m²+8)/2>0
==>
两个交点都在x轴的正半轴上
（2）不妨令B点在C点的左侧!
方程（x-2）[x-（m²+6）]=0的两个根为x=2,x=m²+6
所以,B（2,0）,C（m²+6,0）
A是y轴的交点,所以A（0,2m²+12）
面积 =（2m²+12）*（m²+6 -2）/2 =（m²+6）（m²+4）=48
也就是：m^4 +10m² -24=0
解得：m（3）靠!这个有点难整啊!哥!图不配了!你琢磨着自己画哈!
B（2,0）,C（m²+6,0）
要等腰直角只能是∠P=90°,
所以,P（ (m²+8)/2,-(m²+4)²/4 ）
所以,(m²+4)²/4 =（m²+4）/2
也就是,m^4 +6m² +8 =0
解得：m²= -12 (舍去）或者 m²=2
==> m=±√2
（3）靠!这个有点难整啊!哥!图不配了!你琢磨着自己画哈!
B（2,0）,C（m²+6,0）
要等腰直角只能是∠P=90°,
所以,P（ (m²+8)/2,-(m²+4)²/4 ）
所以,(m²+4)²/4 =（m²+4）/2
也就是,m^4 +6m² +8 =0
解得：m²= -2 ,或者m²= -4
所以,这样m不存在,所以,这样的顶点P也就不存在了!