直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,且∠BAD=60°,AA1=AB,E为BB1延长线的一点,D1E⊥面D1AC,求

题目

直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,且∠BAD=60°,AA1=AB,E为BB1延长线的一点,D1E⊥面D1AC,求

答案

设AC∩BD=O、D1B1中点为H、OH交ED1于G
连EO
因为ED1⊥面D1AC
所以ED1⊥D1O
设HG=x,在△D1B1E中
D1G/D1E=HG/B1E=D1H/D1B1=1/2
由ED1⊥D1O得
GD1^2+D1O^2=GO^2
D1E^2+D1O^2=EO^2
即5/4+1/4+x^2=(1+x)^2
x=1/4
所以D1E=√5/2=D1O
所以∠EOD1=45°；
因为AC⊥面D1B,所以∠EOD1即为E-AC-D1的平面角,为45°