设函数f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax+8，其中a∈R．已知f（x）在x=3处取得极值． （1）求f（x）的解析式； （2）求f（x）在点A（1，16）处的切线方程．

题目

设函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8，其中a∈R．已知f（x）在x=3处取得极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在点A（1，16）处的切线方程．

答案

（1）∵f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8，
∴f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a，
又∵f（x）在x=3处取得极值，
∴f′（3）=6×9-6（a+1）×3+6a=0，解得a=3．
∴f（x）=2x³-12x²+18x+8；
（2）A（1，16）在f（x）上，
由（1）可知f′（x）=6x²-24x+18，
f′（1）=6-24+18=0，
∴切线方程为y=16．