关于x的方程4−x2=x+a有两个不相等的实根,则a的取值范围是_.

关于x的方程4−x2=x+a有两个不相等的实根,则a的取值范围是_.

题目
关于x的方程
4−x2
=x+a
有两个不相等的实根,则a的取值范围是______.
答案
根据题意画出图形,如图所示:

设y1=x+a,y2=
4−x2

当直线与半圆相切时,圆心到直线的距离d=r,即
|a|
2
=2,
解得:a=2
2
或a=-2
2
(舍去),
当直线过(2,0)时,把(2,0)代入直线解析式,求得a=2,
则当直线与半圆有两个公共点,即方程
4−x2
=x+a
有两个不相等的实根,
此时a的取值范围为(2,2
2
).
故答案为:(2,2
2
设方程左边为y1=x+a,表示一条直线,方程右边y2=
4−x2
,为圆心为坐标原点,半径为2的半圆,根据题意画出图形,当直线与半圆相切时,圆心到直线的距离d=r,利用点到直线的距离公式列出关于a的方程,求出此时a的值;当直线过(2,0)时,把此点坐标代入直线方程求出此时a的值,方程有两个不相等的实根即为两函数图形有两个交点,故根据求出的两种情况a的值写出满足题意的a的范围即可.

直线与圆的位置关系.

此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:点到直线的距离公式,一次函数解析式的确定,以及方程与函数的关系,利用了数形结合的思想,其中根据题意画出相应的图形是解本题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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