在三角形ABC中,∠ABC＝60度,∠BAC＝90度,AD是BC上的高,沿AD把三角形ABD折起,使∠BDC＝90度.

题目

在三角形ABC中,∠ABC＝60度,∠BAC＝90度,AD是BC上的高,沿AD把三角形ABD折起,使∠BDC＝90度.
设E为BC的中点,求向量AE与向量DB夹角的余弦值

答案

在原△ABC中,令AB＝x.
∵∠BAC＝90°、∠ABC＝60°、AB＝x,∴BC＝2x、AC＝√3x.
∵AD⊥BC,∴由三角形面积公式,容易得到：AD×BC＝AB×AC,∴AD＝AB×AC/BC＝√3x/2,
∴BD＝AB/2＝x/2,CD＝BC－BD＝2x－x/2＝3x/2.
在三棱锥C－ABD中：
过E作EF∥BD交CD于F.
∵EF∥BD、E是BC的中点,∴F是CD的中点,∴DF＝CD/2＝3x/4.
由勾股定理,有：AF＝√（AD^2＋DF^2）＝√（3x^2/4＋9x^2/16）＝√21x/4.
∵E、F是△BCD的中位线,∴EF＝BD/2＝x/4.
∵BD⊥CD、BD⊥AD,∴BD⊥平面ACD,而AF在平面ACD上,∴BD⊥AF,∴EF⊥AF,
∴tan∠AEF＝AF/EF＝（√21x/4）/（x/4）＝√21,
∴cos∠AEF＝√｛（cos∠AEF）^2/［（sin∠AEF）^2＋（cos∠AEF）^2］｝
＝√｛1/［1＋（tan∠AEF）^2］｝＝√［1/（1＋21）］＝√22/22,
∴cos（180°－∠AEF）＝－cos∠AEF＝－√22/22.
∵EF∥BD,∴向量AE与向量DB的夹角＝180°－∠AEF,
∴向量AE与向量DB夹角的余弦值为－√22/22.