已知函数f（x）=1+2sin（2x-π4）． （1）求函数的最小正周期和最大值； （2）求函数的增区间； （3）函数的图象可以由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到？

题目

已知函数f（x）=1+

2

sin（2x-

π

4

）．
（1）求函数的最小正周期和最大值；
（2）求函数的增区间；
（3）函数的图象可以由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到？

答案

（1）由函数f（x）的解析式可得它的最小正周期为

2π

2

=π，最大值为1+

2

．
（2）函数f（x）=1+

2

sin（2x-

π

4

）的单调区间与函数y=sin（2x-

π

4

）的单调区间相同．
令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得 kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，
故所求的增区间为[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，k∈z．
（3）将y=sinx的图象先向右平移

π

4

个单位长度，再把横坐标缩短为原来的

1

2

 （纵坐标不变），然后把纵坐标伸长为原来的

2

倍（横坐标不变），
再向上平移1个单位长度，可得f（x）=1+

2

sin（2x-

π

4

）的图象．

（1）由函数f（x）的解析式可得它的最小正周期和最大值．
（2）函数f（x）=1+

2

sin（2x-

π

4

）的单调区间与函数y=sin（2x-

π

4

）的单调区间相同．令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，即可得到所求的增区间．
（3）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

本题考点：复合三角函数的单调性；三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

考点点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的周期性、最值、单调增区间以及它的图象变换规律，属于中档题．