设椭圆C:x2/a2+y2/2=1(a>0)的左,右焦点分别为F1,F2,A是椭圆C上一点,向量AF2*向量F1F2=0,坐标原点O

题目

设椭圆C:x2/a2+y2/2=1(a>0)的左,右焦点分别为F1,F2,A是椭圆C上一点,向量AF2*向量F1F2=0,坐标原点O
到直线AF1的距离为1/3|OF1|.求椭圆C的方程

答案

解 ：∵向量AF2·向量F1F2=0,所以AF2⊥F1F2.又作ON⊥AF1,
又坐标原点O到直线AF1的距离为1/3丨OF1丨,即：ON/OF1=1/3.
又OF1=c （c为半焦距长）,∴ON=c／3 ,
又∠ONF1=90°,由勾股定理得：NF1 = （2√2／3）·c
又∵RtΔONF1∽RtΔAF2F1（AAA）,
∴AF2/F1F2=ON/NF1,即：AF2／2c = 【c／3】／【（2√2／3）·c】= 1／2√2
∴AF2=（√2／2）·c.①
又∠AF2F1=90°,由勾股定理得：AF1=（3√2／2）·c.②
.
由椭圆第一定义得：AF1＋AF2=2a,即：（√2／2）·c＋（3√2／2）·c= 2a
∴√2·c=a 又b²=a²－c²=2 ∴2c²=a²=2（a²－2） ∴a²=4
∴椭圆C的方程为:x²/4＋y²/2=1