在三角形ABC中 BP,CP分别是∠abc∠acb的外角平分线求证：点P在∠A的平分线上 ∠BPC=90°-½∠BAC

题目

在三角形ABC中 BP,CP分别是∠abc∠acb的外角平分线求证：点P在∠A的平分线上 ∠BPC=90°-½∠BAC

答案

证明：
作PM⊥AB,交AB延长线于M,PN⊥AC,交AC延长线于N,作PO⊥BC于O
∵PB是∠MBC的平分线
∴PM=PO【角分线上的点到两边的距离相等】
∵PC是∠NCB的平分线
∴PN=PO
∴PM=PN
连接PA,则PA是∠MAN的平分线【在角内,到两边距离相等的点,在角的平分线上】
即点P在∠A的平分线上
（2）
∵∠PBC=½∠MBC=½（∠BAC+∠ACB）
∠PCB=½∠NCB=½∠（∠BAC+∠ABC）
∴∠PBC+∠PCB=½（∠BAC+∠ABC+∠ACB+∠BAC）=½（180º+∠BAC）=90º+½∠BAC
∴∠BPC=180º-（∠PBC+∠PCB）=90º-½∠BAC