平行四边形ABCD.AB=2,AD=1,∠A=60°,向量AM=1/2向量AB,求向量DM*向量DB

题目

平行四边形ABCD.AB=2,AD=1,∠A=60°,向量AM=1/2向量AB,求向量DM*向量DB

答案

∵向量AM＝（1/2）向量AB,　∴AM＝BM＝（1/2）AB＝1.
∵AD＝1、AM＝1、∠A＝60°,　∴△ADM是等边三角形,　∴DM＝1、∠DMB＝120°.
由余弦定理,有：BD^2＝DM^2＋BM^2－2DM×BMcos∠DMB＝1＋1－2×1×1×cos120°＝3,
∴BD＝√3.
∵∠DMB＝120°,　∴∠BDM为锐角、sin∠DMB＝√3/2.
由正弦定理,有：BM/sin∠BMD＝BD/sin∠DMB,　∴1/sin∠BMD＝√3/（√3/2）＝2,
∴sin∠BMD＝1/2,　∴cos∠BMD＝√3/2.
∴向量DM·向量DB＝DM×BMcos∠BMD＝1×1×√3/2＝√3/2.