A为正交矩阵,并且A的行列式的值1,求证存在正交矩阵B,使得B^2=A

题目

A为正交矩阵,并且A的行列式的值1,求证存在正交矩阵B,使得B^2=A
本人有一定的基础,所以证明过程只要求重要的结论和这些结论推导最终结果的过程.

答案

由内积空间及其上线性变换理论知,正交阵【实内积空间上的自伴算子】正交相似于准对角阵,对角位置除了1,还有一些2×2的矩阵.A的特征值是模为1的复数,因A的行列式的值1,所以A的非实数特征值和-1都是成对出现的.A的两个共轭特征值对应的那个2×2的矩阵块的几何意义是平面上的旋转,它可以表示成一个2×2的正交阵的平方【转一半角的旋转矩阵】,两个-1构成的2×2的矩阵块几何意义是平面上关于原点的对称,它相当于逆时针旋转90°两次,所以[-1,0;-1,0]=[0,-1;1,0]^2,也把它表示成了2×2的正交阵的平方,这样如果设准对角阵为D,那么D=K^2 K为正交阵.
因为存在正交阵C使得,A=C‘DC=C’K^2C=C'KCC'KC 可令B=C'KC 则B为正交阵,且A=B^2