已知圆C经过坐标原点O且与直线X-Y+2=0相切,切点为A(2,4)

题目

已知圆C经过坐标原点O且与直线X-Y+2=0相切,切点为A(2,4)
1,求圆C的方程
2,若斜率为-1的直线L与圆C相交于不同的两M,N点求|MN|的最大值

答案

1设圆心C（a,b),半径为r
圆C:(x-a)^2+（y-b)^2=r^2
∵C经过坐标原点O,切点为A(2,4)
∴a^2+b^2=r^2 (1)
(2-a)^2+(4-b)^2=r^2 (2)
又圆C经过坐标原点O且与直线
X-Y+2=0相切,切点为A(2,4)
∴CA与切线垂直
∴（b-4)/(a-2)*1=-1
∴ b=6-a (3)
(1)-(2):
a+2b-5=0 (4)
(3)(4)解得：a=7,b=-1
∴r^2=50
∴圆C的方程为(x-7)^2+(y+1)^2=50
2
斜率为-1的直线L与圆C相交于不同的两M,N
直线被圆截得的最长弦为直径
∴|MN|的最大值为2√50=10√2