在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b（cosA-2cosC）=（2c-a）cosB． （Ⅰ）求c/a的值； （Ⅱ）若cosB=1/4，△ABC的周长为5，求b．

题目

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b（cosA-2cosC）=（2c-a）cosB．
（Ⅰ）求

c

a

答案

（Ⅰ）在△ABC中，有

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，
又b（cosA-2cosC）=（2c-a）cosB，
∴sinB（cosA-2cosC）=（2sinC-sinA）cosB，即sinBcosA-2sinBcosC=2sinCcosB-sinAcosB，
∴sin（A+B）=2sin（B+C），即sinC=2sinA，
则c=2a，即

c

a

=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）∵c=2a，a+b+c=5，
∴b=5-（a+c）=5-3a，
由余弦定理得：b²=c²+a²-2accosB，
∴（5-3a）²=（2a）²+a²-4a²×

1

4

，
解得：a=1或a=5，
当a=1时，b=2；当a=5时，与a+b+c=5矛盾，
则b=2．