已知函数f(x)=a(2cos2x2+sinx)+b.(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的单调递增区间;.(Ⅱ)当a
题目
已知函数
f(x)=a(2cos2+sinx)+b.
(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的单调递增区间;.
(Ⅱ)当a<0时,若x∈[0,π],函数f(x)的值域是[3,4],求实数a,b的值.
答案
(1)
f(x)=a(cosx+1+sinx)+b=asin(x+)+a+b,
当a=1时,
f(x)=sin(x+)+1+b.
∴当
2kπ-≤x+≤2kπ+ (k∈Z)时,f(x)是增函数,
所以函数f(x)的单调递增区间为
[2kπ-,2kπ+] (k∈Z);
(Ⅱ)由x∈[0,π]得
≤x+≤,∴
-≤sin(x+)≤1.
因为a<0,所以当
sin(x+)=1时,f(x)取最小值3,即
a+a+b=3 (1)当
sin(x+)=-时,f(x)取最大值4,即b=4
将b=4代入(1)式得
a=1-.
(1)根据二倍角公式,可得2cos
2=cosx+1,代入f(x)化简并将a=1代入可得,
f(x)=sin(x+)+1+b,由正弦函数的性质,分析可得答案,
(2)由(1)可得,
f(x)=a(cosx+1+sinx)+b=asin(x+)+a+b,根据正弦函数的性质,求出其在[0,π]上的值域,与[3,4]对应,计算可得答案.
二倍角的余弦;三角函数中的恒等变换应用.
本题考查二倍角公式的变形运用,注意从题目分析,寻找突破口,对公式变形化简.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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