（1）定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(4-x),f(-1)=1,且f(2-x)+f(x-2)=0,求f(2013)的值

题目

（1）定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(4-x),f(-1)=1,且f(2-x)+f(x-2)=0,求f(2013)的值
（2）已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,f(-1)=-2,求f(x)在[-2,2]上的值域

答案

(1)、f(2-1)+f(1-2)=0得f(1)+f(-1)=0,所以f(1)=-1
f(x)=f(4-x)=f(2-(x-2))=-f((x-2)-2)=-f(x-4)
f(2013)=-f(2013-4)=f(2013-4*2)=……=(-1)^n f(2013-4n),
去n=503,f(2013)=-f(1)=1
2、f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)得f(0)=0
0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x),得f为奇函数.
当x,y>0时,f(x),f(y)>0,且f(0)=0,由f(x+y)-f(x)=f(y)>0可知f(x)在[0,2]上单调递增.
f(2)=f(1+1)=2f(1)=-2f(-1)=4
所以在[0,2]上的值域是[0,4],所以在[-2,2]上的值域是[-4,4]