如图,已知AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,且BC=CD. (1)求证:△BCE≌△DCF; (2)若AB=17,AD=9,求AE的长.
题目
如图,已知AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,且BC=CD.
(1)求证:△BCE≌△DCF;
(2)若AB=17,AD=9,求AE的长.
答案
(1)证明:∵AC平分∠BAD,CE⊥AB,CF⊥AD,
∴CE=CF,∠F=∠CEB=90°,
在Rt△BCE与Rt△DCF中,
,
∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL);
(2)∵Rt△BCE≌Rt△DCF,
∴DF=BE,
∵∠F=∠CEA=90°,
∴在Rt△AFC和Rt△AEC中
∴Rt△AFC≌Rt△AEC(HL),
∴AF=AE,
设DF=BE=x
∵AB=17,AD=9,
∴17-x=9+x
解得:x=4
∴AE=17-4=13.
(1)求出CE=CF,∠F=∠CEB=90°,根据HL证出两三角形全等即可.
(2)求出DF=BE,证Rt△AFC≌Rt△AEC,推出AF=AE,设DF=BE=x,得出方程17-x=9+x,求出x,即可求出答案.
全等三角形的判定与性质;角平分线的性质.
本题考查了角平分线性质,全等三角形的性质和判定的应用,注意:全等三角形的对应边相等,对应角相等.直角三角形全等的判定定理是SAS,ASA,AAS,SSS,HL.
举一反三
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