位于曲线y=xe^(-x)下方,x轴上方无界区域面积是

题目

位于曲线y=xe^(-x)下方,x轴上方无界区域面积是

答案

即求反常积分 ∫[0,+∝] xe^(-x) dx
∫[0,+∝] xe^(-x) dx
= - ∫[0,+∝] x d[e^(-x)]
= - [xe^(-x)]│[0,+∝] + ∫[0,+∝] e^(-x) dx
= - [xe^(-x)]│[0,+∝] + [-e^(-x)]│[0,+∝]
= - lim[x→+∝] xe^(-x)] + 0e^0 + lim[x→+∝] [-e^(-x)] - (-e^0)
= 0 + 0 + 0 - (-1)
= 1