已知双曲线x^2-1/2y^2=1,过点P(1,1)能否做一条直线l,和双曲线交于A,B两点,并且过P是线段AB的中点?

题目

已知双曲线x^2-1/2y^2=1,过点P(1,1)能否做一条直线l,和双曲线交于A,B两点,并且过P是线段AB的中点?

答案

假设能,A(x1,y1),B(x2,y2),于是x1^2- y1^2/2=1,x2^2- y2^2/2=1,相减：x1^2-x2^2=(y1^2-y2^2)2
即2(x1+x2)(x1-x2)=(y1+y2)(y1-y2),若P为中点,则x1+x2=2,y1+y2=2,所以2(x1-x2)=yi-y2,所以：
此直线斜率K=（y1-y2)/(x1-x2)=2 ,因而直线方程就是：y=2x-1,代入双曲线方程整理得：
-x^2+2x-3/2=0,此时判别式=4-6