若二次函数y=x²+px+q的图像经过A(a,0),B(b,0)与C(2,-1)三点,图像的顶点为M,求使三角形AMB的面积最小的二次函数的表达式 急

题目

若二次函数y=x²+px+q的图像经过A(a,0),B(b,0)与C(2,-1)三点,图像的顶点为M,求使三角形AMB的面积最小的二次函数的表达式 急

答案

由题意知4+2p+q=-1,即q=-2p-5,
∵A（a,0）、B（b,0）两点在抛物线y=x²+px+q上,
∴a+b=-p,ab=q,
又|AB|=|a-b|=根号下(a+b)2−4a,M（-p/2,4q-p^2/4)

∴S_△AMB=1/2|AB|x4q-p^2/4

=1/8|a-blx（P²-4q）=1/8根号下

(p2−4q)3

要使S_△AMB最小,只须使P²-4q为最小,
而P²-4q=P²+8p+20=（p+4）²+4,
∴当p=-4时,P²-4q有最小值为4,
此时q=3,S_△AMB=1/8x根号4^3=1

∴二次函数解析式为y=x²-4x+3．．