证明函数f(x)=10^x+1/10^x-1 在(0,+∞)上是减函数.

题目

证明函数f(x)=10^x+1/10^x-1 在(0,+∞)上是减函数.

答案

解函数f(x)=10^x+1/10^x-1
=[（10^x-1）+2]/10^x-1
=1+2/(10^x-1)
设任意x1,x2属于(0,+∞),且x1＜x2
故f（x1）-f（x2）
=[1+2/(10^x1-1)]-[1+2/(10^x2-1)]
=2/(10^x1-1)-2/(10^x2-1)
=2（10^x2-1）/（10^x2-1）(10^x1-1)-2（10^x1-1）/（10^x1-1）(10^x2-1)
=2（10^x2-10^x1）/（10^x1-1）(10^x2-1）
由x1＞0,x2＞0
即10^x1＞1,10^x2＞1
即（10^x1-1）(10^x2-1）＞0
又由x1＜x2
即10^x1＜10^x2
即10^x2-10^x1＞0
即2（10^x2-10^x1）/（10^x1-1）(10^x2-1）＞0
即f（x1）-f（x2）＞0
即函数f(x)=10^x+1/10^x-1 在(0,+∞)上是减函数.