求值:已知sinθ+cosθ=1/5,已知θ∈(0,π).

题目

求值:已知sinθ+cosθ=1/5,已知θ∈(0,π).
求(1)sinθ*cosθ(2)sinθ-cosθ(3)tanθ

答案

(sinθ - cosθ)^2 = (sinθ)^2 + (cosθ)^2 + 2sinθ*cosθ = 1 + 2sinθ*cosθ = 1/25
所以,sinθ*cosθ = -12/25

因为 θ 是第一、二象限内的角,则 sinθ >0,无论 cosθ 为何值,sinθ - cosθ 肯定大于 0.所以：
(sinθ - cosθ)^2 = 1 - 2sinθ*cosθ = 1 - 2*(-12/25) = 49/25
sinθ - cosθ = 7/5

sinθ*cosθ
= (tanθ*cosθ)*cosθ
= tanθ*(cosθ)^2
= tanθ*1/(secθ)^2
= tanθ/[(tanθ)^2 +1]
= -12/25
12*(tanθ)^2 + 25*(tanθ) + 12 = 0
(3tanθ + 4) *(4tanθ + 3) = 0
tanθ = -4/3 或 tanθ = -3/4
当 tanθ = -4/3 时,cosθ = -3/5,sinθ = 4/5,是一合理的解；
当 tanθ = -3/4 时,cosθ = -4/5,sinθ = 3/5,不是合理的解,应舍去.