已知函数f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|100x-1|,则当x=_时,f(x)取得最小值.

已知函数f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|100x-1|,则当x=_时,f(x)取得最小值.

题目
已知函数f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|100x-1|,则当x=______时,f(x)取得最小值.
答案
f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|100x-1|
=|x-1|+2|x-
1
2
|+3|x-
1
3
|+…+100|x-
1
100
|
=|x-1|+|x-
1
2
|+|x-
1
2
|+|x-
1
3
|+|x-
1
3
|+|x-
1
3
|+…+|x-
1
100
|
共有(1+100)×100×
1
2
=5050项
又|x-a|+|x-b|≥|a-b|
(注:|x-a|为x到a的距离…
|x-a|+|x-b|即为x到a的距离加上x到b的距离,
当x在a,b之间时,|x-a|+|x-b|最小且值为a到b的距离)
所以f(x)的5050项 前后对应每两项相加,使用公式|x-a|+|x-b|≥|a-b|
f(x)≥(1-
1
100
)+(
1
2
-
1
100
)+…+…当x在每一对a,b之间时,等号成立
由于70×(1+70)×
1
2
=2485
71×(71+1)×
1
2
=2556
所以f(x)最中间的两项(第2525,2526项)是|x-
1
71
|
所以f(x)≥(1-
1
100
)+(
1
2
-
1
100
)+…+(
1
71
-
1
71

当x=
1
71
时等号成立
则当x=
1
71
时f(x)取得最小值
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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