数学、定积分,一题.

题目

数学、定积分,一题.
设点P在曲线Y=X平方上,
从原点到A（2,4）上移动,
如果把由直线OP,曲线Y=X平方及直线X=2
所围成的图形的面积记作S1、S2,
当S1=S2时,求P的坐标?

答案

设P点的坐标是(a,b).
∵点P在曲线y=x²上
∴b=a².(1)
于是,根据题意得S1=∫(0,a)(bx/a-x²)dx (∫(0,a)表示从0到a积分)
=[bx²/(2a)-x³/3]|(0,a)
=ab/2-a³/3
S2=∫(a,2)(x²-bx/a)dx
=[x³/3-bx²/(2a)]|(a,2)
=8/3-2b/a-a³/3+ab/2
∵S1=S2
∴ab/2-a³/3=8/3-2b/a-a³/3+ab/2 ==>3b=4a.(2)
解联立方程组(1)(2),得a=4/3,b=16/9 (a=0,b=0不符合题意,舍去)
故 P点的坐标是（4/3,16/9）.