设常数a>=0,函数f(x)=x-lnx^2+2alnx-1（x属于0,正无穷）求证：当x>1时恒有x>lnx^2-2alnx+1这是哪年的高考

题目

设常数a>=0,函数f(x)=x-lnx^2+2alnx-1（x属于0,正无穷）求证：当x>1时恒有x>lnx^2-2alnx+1这是哪年的高考

答案

f(1)=0
只需证明：f(x)>f(1)
只需证明当x>1时单调增.
f'(x)=1-(2lnx)/x+2a/x=(2a+x-2lnx)/x
只需证明：2a+x-2lnx>0
上式左边再求导数：1-2/x,令此式为0
得到x=2时2a+x-2lnx取到最小值为：
2a+2-2ln2=2(a+1-ln2)>2(a+1-lne)=2a>=0
所以：x>1时,2a+x-2lnx>0得证.
结论得证.