已知集合A={x/R,x²+px+q=0},B=｛x/qx²+px+1=0｝.是否存在不为零的实数p,q满足条件①A交B≠0

题目

已知集合A={x/R,x²+px+q=0},B=｛x/qx²+px+1=0｝.是否存在不为零的实数p,q满足条件①A交B≠0
②A交（B的补集）=｛-2｝?若存在,求出pq；若不存在 说明理由

答案

设A交B≠0时存在a是x²+px+q=0,qx²+px+1=0的根,得
a²+pa+q=0 式（1）
qa²+pa+1=0 式（2）
式（2）-式（1）整理得(q-1)(a+1)(a-1)=0
当q=1时A=B,不能满足②A交（B的补集）=｛-2｝,所以有a=1或a=-1
（一）当a=1,A交（B的补集）=｛-2｝有x²+px+q=（x-1)(x+2)=x²+x-2得
p=1,q=-2
qx²+px+1=-2x²+x+1=0的解为x=1,x=-1/2,满足要求
（二）当a=-1,A交（B的补集）=｛-2｝有x²+px+q=（x+1)(x+2)=x²+3x+2得
p=3,q=2
qx²+px+1=-2x²+3x+1=0的解为x=-1,x=1/2,满足要求