数列的极限

题目

数列的极限
对于数列{Xn},Xn的极限是a,求证X2n的极限是a,X2n+1的极限是a

答案

由题知lim(n→∞) Xn=a
也即：Xn是收敛数列
根据定理：收敛数列的任何子列都收敛,且极限相同
可知：
X(2n)与X(2n+1)都收敛且极限为a
这个是最快的证明方法,利用一条定理即可
要严格证明也是可以的,而且也很简单：
因为lim(n→∞) Xn=a
由定义：
任意ε>0,存在N>0,当n>N,有|Xn-a|0以及N>0,当n>N时,有2n>2N>N,2n+1>2N+1>N成立
于是立即有（根据上面写出来的定义,只要下标比N要大,后面的不等式就成立）：
|X(2n)-a|