对任意实数x,y,函数f(x)满足f(x)+f(y)+xy+1=f(x+y).若f(1)=1,则对于正整数n,f(n)=

题目

对任意实数x,y,函数f(x)满足f(x)+f(y)+xy+1=f(x+y).若f(1)=1,则对于正整数n,f(n)=

答案

令 y=1时,则f(x)+f(1)+x+1=f(x+1)f(x+1)-f(x)=x+2即 f(n+1)-f(n)=n+2f(n)-f(n-1)=n+1f(n-1)-f(n-2)=n.f(2)-f(1)=3上述等式两边相加,得f(n)-f(1)=3+4+...+(n+1)f(n)=f(1)+3+4+...+(n+1)=[1+(n+1)]/2*(n+1)-2...