以椭圆x^2/a^2+y^2=1(a>1)的短轴端点B（0,1)为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC,若这样的三角形有且只有一个,求a的取值范围.

题目

以椭圆x^2/a^2+y^2=1(a>1)的短轴端点B（0,1)为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC,若这样的三角形有且只有一个,求a的取值范围.

答案

设过点B(0,1)的直线AB的参数方程为 x=tcosα{ (α为倾斜角,设为锐角) y=1+tsinα代入椭圆方程得(cos^α+a^sin^α)t^+2atsinα=0,∴t1=0,t2=(-2asinα)/(cos^α+a^sin^α),|AB|=2asinα/(cos^α+a^sin^α),|BC⊥AB,BC...