如图,在三棱锥P-ABC中,△PAB是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90°. (1)证明:AB⊥PC; (2)若PC=4,且平面PAC⊥平面PBC,求三棱锥P-ABC的体积.

如图,在三棱锥P-ABC中,△PAB是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90°. (1)证明:AB⊥PC; (2)若PC=4,且平面PAC⊥平面PBC,求三棱锥P-ABC的体积.

题目
如图,在三棱锥P-ABC中,△PAB是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90°.

(1)证明:AB⊥PC;
(2)若PC=4,且平面PAC⊥平面PBC,求三棱锥P-ABC的体积.
答案
(1)证明:因为△PAB是等边三角形,
∠PAC=∠PBC=90°,
PC=PC
所以Rt△PBC≌Rt△PAC,
可得AC=BC.
如图,取AB中点D,连接
PD、CD,
则PD⊥AB,CD⊥AB,
所以AB⊥平面PDC,
所以AB⊥PC.
(2)作BE⊥PC,垂足为E,连接AE.
因为Rt△PBC≌Rt△PAC,
所以AE⊥PC,AE=BE.
由已知,平面PAC⊥平面PBC,
故∠AEB=90°.
因为Rt△AEB≌Rt△PEB,
所以△AEB,△PEB,△CEB都是等腰直角三角形.
由已知PC=4,得AE=BE=2,
△AEB的面积S=2.
因为PC⊥平面AEB,
所以三棱锥P-ABC的体积
V=
1
3
×S×PC=
8
3
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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