选修4-1：平面几何 如图AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F． （I）求证：∠DEA=∠DFA； （II）若∠EBA=30°，EF=3，EA=2AC，求AF的

题目

选修4-1：平面几何
如图AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．
（I）求证：∠DEA=∠DFA；
（II）若∠EBA=30°，EF=

3

，EA=2AC，求AF的长．

答案

（Ⅰ）证明：连接AD，BC．因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB=∠ACB=∠EFA=90°，故A，D，E，F四点共圆，∴∠DEA=∠DFA；（Ⅱ）在直角△EFA和直角△BCA中，∠EAF=∠CAB，所以△EFA∽△BCA，所以AFAC＝AEAB所以AF×AB=AC×...

（Ⅰ）连接AD，BC，证明A，D，E，F四点共圆，可得结论；
（Ⅱ）证明△EFA∽△BCA，可得

AF

AC

＝

AE

AB

，所以AF×AB=AC×AE，从而可求AF的长．

本题考点：与圆有关的比例线段．

考点点评：本题考查四点共圆，考查三角形的相似，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．