过定点P(0,1),且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线方程为_.
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过定点P(0,1),且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线方程为_.
题目
过定点P(0,1),且与抛物线y
2
=2x只有一个公共点的直线方程为______.
答案
①设直线l的斜率等于k,则当 k=0时,直线l的方程为 y=1,满足直线与抛物线y
2
=2x仅有一个公共点,
当k≠0时,直线l是抛物线的切线,设直线l的方程为 y=kx+1,
代入抛物线的方程可得:
k
2
x
2
+(2k-2)x+1=0,根据判别式等于0,求得 k=
1
2
,故切线方程为 y=
1
2
x+1.
②当斜率不存在时,直线方程为x=0,经过检验可得此时直线也与抛物线y
2
=2x相切.
故答案为:y=1,或 x=0,或 x-2y+2=0.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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